Задание №15 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Решите неравенство 3 log₁₁ (x² + 8x − 9) ≤ 4 + log₁₁ ((x − 1)³)/(x + 9).
Подсказки — как подойти к решению
- Вынеси множитель перед логарифмом в показатель степени аргумента.
- Приведи логарифмы к одному основанию и реши неравенство методом интервалов.
Решение
Найдём значения x, при которых определены обе части неравенства:
система: x² + 8x − 9 > 0, ((x − 1)³)/(x + 9) > 0. ⇔ система: (x + 9) (x − 1) > 0, ((x − 1)³)/(x + 9) > 0. ⇔ x < − 9, или x > 1.
Для таких x получаем:
3 log₁₁ (x + 9) (x − 1) + log₁₁ (x + 9)/((x − 1)³) = log₁₁ ((x + 9)³ (x − 1)³ (x + 9))/((x − 1)³) = log₁₁ (x + 9) ^ 4. 3 log₁₁ (x + 9) (x − 1) + log₁₁ (x + 9)/((x − 1)³) =
= log₁₁ ((x + 9)³ (x − 1)³ (x + 9))/((x − 1)³) = log₁₁ (x + 9) ^ 4.
Тогда исходное неравенство примет вид: log₁₁ (x + 9) ^ 4 ≤ 4. Учитывая, что неравенство определено на множестве (−∞, − 9) ∪ (1, +∞), имеем:
2 log₁₁ (x + 9)² ≤ 4 ⇔ (x + 9)² ≤ 11² ⇔ (x − 2) (x + 20) ≤ 0 при ОДЗ ⇔ − 20 ≤ x < − 9, 1 < x ≤ 2. 2 log₁₁ (x + 9)² ≤ 4 ⇔ (x + 9)² ≤ 11² ⇔
⇔ (x − 2) (x + 20) ≤ 0 при ОДЗ ⇔ − 20 ≤ x < − 9, 1 < x ≤ 2.
Ответ: [ − 20; − 9) ∪ (1;2 ].
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не учесть знак коэффициента перед логарифмом при преобразованиях.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №15 по профильной математике · Разбор темы №15 с нуля