Задание №15 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии

Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.

Условие

Решите неравенство (log₇ ^ (x + 3) 49)/(log₇ ^ (x + 3) (−49x)) ≤ 1/(log₇ log_ 1/7 7 ^ (x)).

Приведи логарифмы к одному основанию и упрости степени в основаниях.
Дальше реши неравенство методом интервалов, внимательно выписав область определения.

Преобразуем неравенство:

(log₇ ^ (x + 3) 49)/(log₇ ^ (x + 3) (−49x)) ≤ 1/(log₇ log_ 1/7 7 ^ (x))

(log₇₄₉)/((x + 3) · log₇ ^ (x + 3) (−49x)) ≤ 1/(log₇ (−log₇₇ ^ (x)))

((x + 3) · 2)/((x + 3) · log₇ (−49x)) ≤ 1/(log₇ (−x))

система: x + 3 ≠ 0, (2)/(2 + log₇ (−x)) ≤ 1/(log₇ (−x)).

Решим второе неравенство системы, сделав замену log₇ (−x) = t:

(2)/(2 + t) ≤ 1/t ⇔ (2)/(2 + t) − 1/t 0 ⇔ (t − 2)/((2 + t) · t) 0 ⇔ t < − 2, 0 < t ≤ 2.

log₇ (−x) < − 2, 0 < log₇ (−x) ≤ 2. ⇔ 0 < − x < 1/49,1 < − x ≤ 49. ⇔ − 1/49 < x < 0, − 49 ≤ x < − 1.

Вернёмся к системе

x + 3 ≠ 0, − 1/49 < x < 0, − 49 ≤ x < − 1. ⇔ − 49 ≤ x < − 3, − 3 < x < − 1, − 1/49 < x < 0.

Ответ: [ − 49; − 3) ∪ (−3; − 1) ∪ (−1/49;0).

Критерий (до 2 баллов)	Балл
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Частая ошибка: неверно применить формулу логарифма степени (показатель выносится с модулем).

В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №15 по профильной математике · Разбор темы №15 с нуля