Задание №15 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Решите неравенство (1/(x² − 7x + 12) + (x − 4)/(3 − x)) √(6x − x²) ≤ 0.
Подсказки — как подойти к решению
- Приведи дроби к общему знаменателю и разложи числитель на множители.
- Реши неравенство методом интервалов на области определения корня.
Решение
Если 6x − x² = 0, то x = 0 или x = 6. При этих значениях x выражение 1/(x² − 7x + 12) + (x − 4)/(3 − x) имеет смысл, поэтому x = 0 и x = 6 являются решениями неравенства.
Если 6x − x² > 0, то 0 < x < 6, при этом √(6x − x ^ (2)) > 0. Тогда
1/(x² − 7x + 12) + (x − 4)/(3 − x) ≤ 0 ⇔ 1/((x − 4) (x − 3)) + (x − 4)/(3 − x) ≤ 0 ⇔
⇔ (1 − (x − 4)²)/((x − 4) (x − 3)) ≤ 0 ⇔ ((x − 5) (x − 3))/((x − 4) (x − 3)) ≥ 0 ⇔ 1/(x² − 7x + 12) + (x − 4)/(3 − x) ≤ 0 ⇔
⇔ 1/((x − 4) (x − 3)) + (x − 4)/(3 − x) ≤ 0 ⇔
⇔ (1 − (x − 4)²)/((x − 4) (x − 3)) ≤ 0 ⇔ ((x − 5) (x − 3))/((x − 4) (x − 3)) ≥ 0 ⇔
⇔ x < 3, или 3 < x < 4, или x ≥ 5.
Пересекая полученное решение с множеством (0;6), и учитывая, что точки 0 и 6 также входят в являются решениями неравенства, получим множество решений исходного неравенства: [ 0;3) ∪ (3;4) ∪ [ 5;6 ].
Ответ: [ 0;3) ∪ (3;4) ∪ [ 5;6 ].
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: включить в ответ точки, где подкоренное выражение отрицательно.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №15 по профильной математике · Разбор темы №15 с нуля