Задание №15 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии

Заменим log₃ 1/x на − log₃ x, перенесем полученное выражение в правую часть и применим на области определения формулу суммы логарифмов. Получим:

log₃ (x² + 3x + 1/x − 10) + log₃ x = log₃ (x³ + 3x² + 1 − 10x).

Тогда исходное уравнение ⇔ м:

система: x > 0, x² + 3x + 1/x − 10 > 0, log₃ (x² + 3x − 9) ≤ log₃ (x³ + 3x² + 1 − 10x). ⇔

⇔ система: x > 0, x² + 3x + 1/x − 10 > 0, x² + 3x − 9 > 0, x² + 3x − 9 ≤ x³ + 3x² + 1 − 10x. ⇔ система: x > 0, x² + 3x − 9 > 0, x² + 3x − 10 ≤ x³ + 3x² − 10x. ⇔

⇔ система: x > 0, x < (−3 − 3 √ 5)/(2) или x > (−3 + 3 √ 5)/(2), x² + 3x − 10 ≤ x (x² + 3x − 10). ⇔ система: x > (−3 + 3 √ 5)/(2), (x − 1) (x² + 3x − 10) 0. ⇔ x ≥ 2. система: x > 0, x² + 3x + 1/x − 10 > 0, log₃ (x² + 3x − 9) ≤ log₃ (x³ + 3x² + 1 − 10x). ⇔ система: x > 0, x² + 3x − 9 > 0, x² + 3x − 10 ≤ x³ + 3x² − 10x. ⇔

⇔ система: x > (−3 + 3 √ 5)/(2), (x − 1) (x² + 3x − 10) 0. ⇔ x ≥ 2. ⇔

⇔ система: x > 0, x² + 3x − 9 > 0, x² + 3x − 10 ≤ x³ + 3x² − 10x. ⇔

⇔ система: x > (−3 + 3 √ 5)/(2), (x − 1) (x² + 3x − 10) 0. ⇔ x ≥ 2.

Ответ: [ 2; +∞).

Примечание.

Выше мы воспользовались тем, что число, большее положительного, положительно:

система: x > 0, y > 0, x < y. ⇔ система: x > 0, x < y.

Запомним этот прием, он позволяет уменьшать количество неравенств в х без потери ⇔ сти.

Примечание Александра Иванова (Санкт-Петербург).

Читатель, много решавший логарифмические уравнения и неравенства, знает, что если при решении уравнений или неравенств используется формула суммы логарифмов, то для обеспечения ⇔ сти достаточно записать условие на аргумент лишь одного из складываемых логарифмов. Например, справедлива ⇔ сть

логарифм по основанию a x ≤ логарифм по основанию a y + логарифм по основанию a z ⇔ система: z > 0, логарифм по основанию a x ≤ логарифм по основанию a yz.

Пользуясь сказанным, приведенное решение можно чуть сократить:

log₃ (x² + 3x − 9) ≤ log₃ (x² + 3x + 1/x − 10) + log₃ x ⇔ система: x > 0, log₃ (x² + 3x − 9) ≤ log₃ (x³ + 3x² + 1 − 10x). ⇔

⇔ система: x > 0, x² + 3x − 9 > 0, x² + 3x − 9 ≤ x³ + 3x² + 1 − 10x. ⇔ система: x > (−3 + 3 √ 5)/(2), (x − 1) (x² + 3x − 10) 0. ⇔ x ≥ 2. log₃ (x² + 3x − 9) ≤ log₃ (x² + 3x + 1/x − 10) + log₃ x ⇔

⇔ система: x > 0, log₃ (x² + 3x − 9) ≤ log₃ (x³ + 3x² + 1 − 10x). ⇔ система: x > 0, x² + 3x − 9 > 0, x² + 3x − 9 ≤ x³ + 3x² + 1 − 10x. ⇔

⇔ система: x > (−3 + 3 √ 5)/(2), (x − 1) (x² + 3x − 10) 0. ⇔ x ≥ 2. ⇔

⇔ система: x > 0, x² + 3x − 9 > 0, x² + 3x − 9 ≤ x³ + 3x² + 1 − 10x. ⇔ система: x > (−3 + 3 √ 5)/(2), (x − 1) (x² + 3x − 10) 0. ⇔ x ≥ 2. ⇔

⇔ система: x > 0, x² + 3x − 9 > 0, x² + 3x − 9 ≤ x³ + 3x² + 1 − 10x. ⇔

⇔ система: x > (−3 + 3 √ 5)/(2), (x − 1) (x² + 3x − 10) 0. ⇔ x ≥ 2.

Примечание Дмитрия Гущина (Санкт-Петербург).

Приведенная в предыдущем примечании идея является частным случаем следующих общих и чрезвычайно полезных утверждений, которые несложно доказать, например, методом математической индукции.

Утверждение 1 (о ⇔ сти логарифмических уравнений). Для обеспечения ⇔ сти при использовании формул суммы логарифмов при решении уравнений вида содержащих логарифмов переменной величины, достаточно условия на аргументы логарифмов:

Иными словами, избавляясь от логарифмов, одно любое условие можно опустить. Это свойство, основанное на том, что число, равное положительному, положительно, позволяет уменьшить число условий, например, в следующем случае (три логарифма переменных — два условия):

log₂ x + log₂ (x + 1) + log₂ 3 = log₂ (x³ + 3x² + 3x − 2) ⇔

⇔ система: x > 0, x + 1 > 0. 3x (x + 1) = x³ + 3x² + 3x − 2. ⇔ система: x > 0,x³ = 2. ⇔ x = ∛ 2. log₂ x + log₂ (x + 1) + log₂ 3 = log₂ (x³ + 3x² + 3x − 2) ⇔

⇔ система: x > 0, x + 1 > 0. 3x (x + 1) = x³ + 3x² + 3x − 2. ⇔

⇔ система: x > 0,x³ = 2. ⇔ x = ∛ 2.

Или в задаче с параметром, предварительно избавившись от − а перед логарифмом:

log₂ x + log₂ 3 = log₂ (x³ + 3x² + 3x − a) − log₂ (x + 1) ⇔

⇔ система: x > 0, x + 1 > 0. 3x (x + 1) = x³ + 3x² + 3x − a. ⇔ система: x > 0,x³ = a. ⇔ x = ∛ a, a > 0. log₂ x + log₂ 3 = log₂ (x³ + 3x² + 3x − a) − log₂ (x + 1) ⇔

⇔ система: x > 0, x + 1 > 0. 3x (x + 1) = x³ + 3x² + 3x − a. ⇔

⇔ система: x > 0,x³ = a. ⇔ x = ∛ a, a > 0.

То же утверждение верно и для неравенств.

Утверждение 2 (о ⇔ сти логарифмических неравенств). Для обеспечения ⇔ сти при использовании формул суммы логарифмов при решении неравенств вида содержащих логарифмов переменной величины, достаточно условия на аргументы логарифмов. Примем (для рассуждения аналогичны), тогда

В этом случае, избавляясь от логарифмов, можно опустить одно, но не любое одно условие, а лишь стоящее в итоговом неравенстве справа от знака < (или, что то же самое, слева от знака больше). Не приводя доказательства для общего случая, заметим, что в каждом конкретном случае опираемся на то, что число, большее положительного, положительно. Проиллюстрируем сказанное примером:

log₂ x + log₂ 3 меньше log₂ (x³ + 3x² + 3x − a) − log₂ (x + 1) ⇔

⇔ система: x > 0, x + 1 > 0. 3x (x + 1) < x³ + 3x² + 3x − a. ⇔ система: x > 0,x³ > a. ⇔ x больше ∛ a, a > 0. log₂ x + log₂ 3 меньше log₂ (x³ + 3x² + 3x − a) − log₂ (x + 1) ⇔

⇔ система: x > 0, x + 1 > 0. 3x (x + 1) < x³ + 3x² + 3x − a. ⇔

⇔ система: x > 0,x³ > a. ⇔ x больше ∛ a, a > 0.

Обратим внимание читателя, что при решении уравнений иногда можно не заботиться о ⇔ сти преобразований, рассчитывая сделать проверку. Однако невозможно проверить подстановкой бесконечное количество решений неравенств. Поэтому, решая неравенства, непременно приходится следить за ⇔ стью преобразований. В простых задачах достаточно найти область определения, на которой преобразования равносильны. Но в сложных задачах, в частности в задачах с параметром, явно найти ОДЗ бывает затруднительно или даже невозможно. В таких случаях недостаточно, как это нередко бывает, записать в правом углу листа неравенства, задающие ОДЗ, решить те, что решаются, а остальные бросить. Необходимо хорошо понимать, как на каждом шаге решения сохранять ⇔ сть преобразований. Помочь в этом и призваны приведенные рассуждения.