Задание №15 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Решите неравенство логарифм по основанию ((25 − x²)/(16)) (24 + 2x − x²)/(14) > 1.
Подсказки — как подойти к решению
- Логарифм больше единицы: значение зависит от того, больше основание единицы или меньше.
- Составь систему условий на основание и аргумент и реши её.
Решение
Решим неравенство методом рационализации:
логарифм по основанию ((25 − x²)/(16)) (24 + 2x − x²)/(14) > 1 ⇔ логарифм по основанию ((25 − x²)/(16)) (24 + 2x − x²)/(14) − логарифм по основанию ((25 − x²)/(16)) (25 − x²)/(16) > 0 ⇔ логарифм по основанию ((25 − x²)/(16)) (24 + 2x − x²)/(14) > 1 ⇔
⇔ логарифм по основанию ((25 − x²)/(16)) (24 + 2x − x²)/(14) − логарифм по основанию ((25 − x²)/(16)) (25 − x²)/(16) > 0 ⇔
⇔ система: ((25 − x²)/(16) − 1) ((24 + 2x − x²)/(14) − (25 − x²)/(16)) > 0,25 − x² > 0,24 + 2x − x² > 0 (25 − x²)/(16) ≠ 1. ⇔ система: ((9 − x²)/(16)) ((−x² + 16x + 17)/(112)) > 0, − 5 < x < 5, − 4 < x < 6,x ≠ 3. ⇔ ⇔ система: ((25 − x²)/(16) − 1) ((24 + 2x − x²)/(14) − (25 − x²)/(16)) > 0,25 − x² > 0,24 + 2x − x² > 0 (25 − x²)/(16) ≠ 1. ⇔
⇔ система: ((9 − x²)/(16)) ((−x² + 16x + 17)/(112)) > 0, − 5 < x < 5, − 4 < x < 6,x ≠ 3. ⇔
⇔ система: (x² − 9) (x² − 16x − 17) > 0, − 4 < x < 5,x ≠ 3. ⇔ − 4 < x < − 3, − 1 < x < 3.
Ответ: (−4; − 3) (−1; 3).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не рассмотреть случай основания меньше единицы — тогда знак неравенства меняется.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №15 по профильной математике · Разбор темы №15 с нуля