Задание №15 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Решите неравенство: (x² − 6x + 8)/(x − 1) − (x − 4)/(x² − 3x + 2) ≤ 0.
Подсказки — как подойти к решению
- Разложи числитель первой дроби и вторую дробь на множители, затем приведи к общему знаменателю.
- Дальше реши неравенство методом интервалов, помня, что знаменатель не должен обращаться в ноль.
Решение
Перепишем неравенство в виде:
(x² − 6x + 8)/(x − 1) − (x − 4)/(x² − 3x + 2) 0 ⇔ ((x − 4) (x − 2))/(x − 1) − (x − 4)/((x − 2) (x − 1)) ≤ 0 ⇔
⇔ ((x − 2)² (x − 4) − (x − 4))/((x − 2) (x − 1)) ≤ 0 ⇔ (x² − 6x + 8)/(x − 1) − (x − 4)/(x² − 3x + 2) 0 ⇔
⇔ ((x − 4) (x − 2))/(x − 1) − (x − 4)/((x − 2) (x − 1)) ≤ 0 ⇔
⇔ ((x − 2)² (x − 4) − (x − 4))/((x − 2) (x − 1)) ≤ 0 ⇔
⇔ (((x − 2)² − 1) (x − 4))/((x − 2) (x − 1)) ≤ 0 ⇔ ((x − 1) (x − 3) (x − 4))/((x − 2) (x − 1)) ≤ 0 ⇔ система: ((x − 3) (x − 4))/(x − 2) ≤ 0; x ≠ 1. ⇔ (((x − 2)² − 1) (x − 4))/((x − 2) (x − 1)) ≤ 0 ⇔
⇔ ((x − 1) (x − 3) (x − 4))/((x − 2) (x − 1)) ≤ 0 ⇔ система: ((x − 3) (x − 4))/(x − 2) ≤ 0; x ≠ 1.
Множество решений исходного неравенства: (−∞;1) ∪ (1;2) ∪ [ 3;4 ].
Ответ: (−∞;1) ∪ (1;2) ∪ [ 3;4 ].
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: включить в ответ значения, при которых знаменатель равен нулю.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №15 по профильной математике · Разбор темы №15 с нуля