Задание №17 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 1 и 4.
Подсказки — как подойти к решению
- Используй свойство угла между касательной и хордой, чтобы доказать параллельность прямых AD и BC.
- Для площади треугольника AKB найди его стороны через радиусы окружностей и подобие треугольников.
Решение
а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный. Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD AB. Аналогично получаем, что BC AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
б) Пусть, для определенности, радиус окружности с центром в точке O1 равен 4, а радиус окружности с центром в точке O2 равен 1. Треугольники BKC и AKD подобны, AD/BC = DK/KB = 4. Пусть S_BKC = S, тогда S_AKD = 16S. У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно,
(S_AKD)/(S_AKB) = DK/KB = AD/BC,
то есть SAKB = 4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.
Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что O₁H = O₁A − AH = O₁A − O₂B. Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1. Получаем:
O₂H = √(O₁O₂² − O₁H²) = 4,
S_ABCD = (AD + BC)/(2) · AB = 20.
Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и SAKB = 4S = 3,2.
Ответ: б) 3,2.
Приведем решение пункта б) Рамиля Багавиева.
Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что O₁H = O₁A − AH = O₁A − O₂B. Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1:
O₂H = √(O₁O₂² − O₁H²) = 4.
Из подобия треугольников AKD и AKB следует AK/BK = AD/BA = 2, таким образом, AK = 2BK. Применим теорему Пифагора к треугольнику AKB, находим:
16 = AB² = AK² + BK² = 4BK² + BK² = 5BK².
Тогда BK = (4)/(√(5)), AK = (8)/(√(5)), откуда получаем:
S_AKB = 1/2 AK · BK = 1/2 · (8)/(√(5)) · (4)/(√(5)) = 3,2.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 3 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не использовать равенство углов между касательной и хордой — без него пункт а) не доказывается.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №17 по профильной математике · Разбор темы №17 с нуля