Задание №17 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.
б) Найдите отношение CP: PB, если радиус первой окружности втрое больше радиуса второй.
Подсказки — как подойти к решению
- Докажи параллельность двух пар сторон четырёхугольника через вписанные углы и параллельность прямых из условия.
- Отношение отрезков найди через подобие треугольников и связь радиусов окружностей.
Решение
а) Обозначим BAD = PAB = α. Поскольку ABQP и CDPQ — вписанные четырёхугольники,
∠ BQP = 180 ° − α,
∠ CQP = 180 ° − ∠ BQP = 180 ° − (180 ° − α) = α,
∠ ADC = ∠ PDC = 180 ° − ∠ PQC = 180 ° − α.
Значит, BAD + ADC = 180°, и поэтому AB || CD. Противоположные стороны четырёхугольника ABCD попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм.
б) Пусть R — радиус второй (меньшей) окружности. Тогда радиус большей окружности равен 3R. По теореме sin:
BP = 2 · 3R sin ∠ BQP = 6R sin (180 ° − α) = 6R sin α,
PC = 2R sin ∠ CQP = 2R sin α.
Следовательно,
CP/PB = (2R sin α)/(6R sin α) = 1/3.
Ответ: CP: PB = 1: 3.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 3 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
| Методы геометрии: Теорема sin | — |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не использовать параллельность прямых AD и BC, данную в условии.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №17 по профильной математике · Разбор темы №17 с нуля