Задание №17 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N, причём M — середина AD, а BN: NC = 1: 3.
а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.
б) Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC, если площадь параллелограмма ABCD равна 48.
Подсказки — как подойти к решению
- Докажи равенство трёх частей отрезка через подобие треугольников, образованных медианой и секущими.
- Площадь четырёхугольника найди как разность площадей треугольников параллелограмма.
Решение
а) Обозначим точки пересечения прямой BM c прямыми AN и AC буквами P и R соответственно.
Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда AO и BM — медианы треугольника ABD, значит,
MR = 1/3 BM.
Из подобия треугольников BPN и MPA находим, что
BP/PM = BN/AM = 1/2.
Значит, BP = 1/3 BM. Из доказанного следует, что BP = PR = RM.
б) Пусть площадь параллелограмма равна S. Из подобия треугольников MRA и BRC с коэффициентом 1/2 следует, что высота треугольника BRC, проведённая к стороне BC, составляет 2/3 высоты параллелограмма, проведённой к той же стороне. Следовательно, площадь треугольника BRC равна
S_BRC = 1/2 · 2/3 · S = S/3.
Аналогично найдём площадь треугольника BNP. Его высота, проведённая к BN, составляет 1/3 высоты параллелограмма, проведённой к стороне BC, сама сторона BN в четыре раза меньше стороны параллелограмма BC. Поэтому
S_BNP = 1/2 · 1/3 · 1/4 S = 1/24 S.
Следовательно, площадь четырёхугольника PRCN равна
1/3 S − 1/24 S = 7/24 S = 7/24 · 48 = 14
Ответ: 14.
Приведем решение пункта а) Юлии Ерохиной.
По условию M — середина AD, BN: NC = 1: 3. Тогда, полагая BN = x, получаем: NC = 3x, AM = MD = 2x. Обозначим точки пересечения прямой BM c прямыми AN и AC буквами P и R соответственно.
Треугольник BRC подобен треугольнику ARM по двум углам (углы BRC и ARM равны как вертикальные, углы BCR и MAR равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых секущей), следовательно, BR/RM = BC/AM = 4/2 = 2. Пусть RM = y, тогда BR = 2y, BM = 3y.
Треугольник BPN подобен треугольнику APM по двум углам (углы BPN и APM равны как вертикальные, углы BNP и MAP равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых секущей), следовательно, BP/PM = BN/AM = 1/2. Пусть BP = z, тогда PM = 2z, BM = 3z.
Таким образом, 3y = 3z, откуда y = z, то есть BP = PR = RM.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 3 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: сразу считать площадь, не доказав, что отрезок делится на три равные части.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №17 по профильной математике · Разбор темы №17 с нуля