Задание №17 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Точка M — середина стороны AD параллелограмма ABCD. Из вершины A проведены два луча, которые разбивают отрезок BM на три равные части.
а) Докажите, что один из лучей содержит диагональ параллелограмма.
б) Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного двумя проведёнными лучами и прямыми BD и BC, если площадь параллелограмма ABCD равна 40.
Подсказки — как подойти к решению
- Покажи, что один из лучей совпадает с диагональю, через отношения отрезков на стороне параллелограмма.
- Площадь искомого четырёхугольника найди как разность площадей треугольников внутри параллелограмма.
Решение
а) Обозначим точки пересечения лучей с отрезком BM — буквами P и R (см. рис.), и пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма, а N — точка пересечения луча AP и прямой BC. Точка R делит медиану BM треугольника ABD в отношении 2: 1 считая от B. Следовательно, R лежит на медиане AO этого треугольника, то есть луч AR содержит диагональ AC.
б) Пусть L — точка пересечения AN и BD. Нужно найти площадь четырёхугольника LNCO. Пусть площадь параллелограмма равна S. Площадь треугольника BOC равна S_BOC = S/4. Найдём площадь треугольника BNL. Из подобия треугольников BPN и MPA следует, что
BN/AM = BP/PM = 1/2,
откуда
BN = 1/2 AM = 1/4 AD.
Теперь из подобия треугольников BNL и DAL следует, что их соответствующие высоты относятся как 1: 4, а поэтому высота треугольника BNL, проведённая к BN, составляет 1/5 высоты параллелограмма, проведённой к стороне BC.
Поэтому
S_BLN = 1/2 · 1/4 · 1/5 S = 1/40 S.
Следовательно, площадь четырёхугольника LNCO равна
S_BOC − S_BNL = 1/4 S − 1/40 S = 9/40 S = 9/40 · 40 = 9.
Ответ: 9.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 3 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не обосновать, что проведённый луч содержит диагональ.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №17 по профильной математике · Разбор темы №17 с нуля