Задание №17 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.
а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 12, CH = 5.
Подсказки — как подойти к решению
- Докажи, что четыре точки лежат на одной окружности: прямые углы опираются на один и тот же отрезок.
- Радиус этой окружности равен половине гипотенузы — осталось связать данные задачи.
Решение
а) Предположим для определённости, что точка E лежит на катете BC, а точка K — на катете AC. Проведём отрезок KE и заметим, что он является гипотенузой прямоугольного треугольника KCE, подобного треугольнику ABC.
Рассмотрим углы четырёхугольника ABEK. Если ABE = α, то
∠ BEK = ∠ BEH + ∠ HEK = 90 ° + α, а ∠ KAB = 90 ° − α.
Значит,
∠ BEK + ∠ KAB = 90 ° + α + 90 ° − α = 180 °.
Сумма двух противоположных углов в четырёхугольнике 180°, следовательно, четырёхугольник вписан в окружность.
б) Радиус окружности, проходящей через точки A, B и E, найдем по теореме sin:
R = (AB)/(2 sin ∠ BEA) = (AB)/(2 sin ∠ AEC).
Из подобия треугольников CEH и ABC находим
CE/CH = AC/AB, откуда CE = (CH · AC)/(AB).
Тогда
AE = √(CE² + AC²) = AC · √((CH² + AB²)/(AB²)) = AC/AB √(CH² + AB²).
Поэтому
sin ∠ AEC = AC/AE = (AB)/(√(CH² + AB²)).
Следовательно, искомый радиус
R = (AB)/(2/AB √(CH² + AB²)) = 1/2 √(CH² + AB²) = 13/2.
Приведем еще одно решение пункта б).
Продолжим отрезок КН за точку Н, точку его пересечения окружностью назовем Р. Прямые KP и ВС параллельны, следовательно, ∠ PHB = ∠ HBC = ∠ ABC. Заметим, что ∠ KPB = ∠ KAB = ∠ CAB, как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Значит,
∠ PBH = 180 ° − ∠ PHB − ∠ HPB = 180 ° − ∠ ABC − ∠ CAB = 90 °,
то есть ∠ ABP — прямой. Таким образом, прямые BP и СH параллельны, и четырехугольник CHPB — параллелограмм, в котором BP = CH = 5. Отрезок AP — диаметр окружности, найдем его из прямоугольного треугольника ABP:
AP = √(AB² + BP²) = √(12² + 5²) = 13.
Следовательно, искомый радиус R = AP/2 = 13/2.
Приведем решение пункта б) Евгения Матвеева.
В прямоугольном треугольнике ABC имеем: BC = AB sin A. В прямоугольном треугольнике CHK имеем: CK = CH cos ∠ HCK = CH sin A. Тогда BK = √((AB² + CH²) · sin² A) = 13 sin A. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABK по теореме sin
R = (BK)/(2 sin A) = (13 sin A)/(2 sin A) = 13/2.
Ответ: 13/2.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 3 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: брать в качестве диаметра высоту вместо гипотенузы треугольника.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №17 по профильной математике · Разбор темы №17 с нуля