Задание №17 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.
а) Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO: OD = 3: 1 и AC = 2a.
Подсказки — как подойти к решению
- Докажи равнобедренность треугольника через равенство углов, используя параллельность данных отрезков.
- Площадь треугольника выражай через его стороны, записанные через параметр a.
Решение
Пусть луч BO пересекает сторону AC в точке D. Введем следующие обозначения: BCO = DCO = α, COP = x. Прямые OC и QP параллельны, а углы COP и OPQ ― накрест лежащие при пересечении прямых PQ и OC секущей OP, следовательно, OPQ = x. Далее, из прямоугольного треугольника OPC находим x = π/2 − α, а из равнобедренного треугольника OPQ находим POQ = π − 2x = 2α. Таким образом, треугольники BOP и BCD подобны, и, значит, биссектриса BD треугольника ABC является его высотой, откуда следует, что треугольник ABC ― равнобедренный треугольник, что и требовалось доказать.
б) Отрезок CO ― биссектриса треугольника BCD. Следовательно,
DC/BC = OD/OB = 1/3,
откуда BC = 3DC = 3a.
Далее, CP = DC = a, значит, BP = 2a и, следовательно, S_Δ BPO = 2S_Δ CPO = S_CPOD. Откуда
S_Δ BOP = 1/2 S_Δ BCD = 1/4 S_Δ ABC. BQ = 2/3 BO,
следовательно S_Δ BQP = 2/3 S_Δ BOP = 1/6 S_Δ ABC.
По формуле Герона находим: S_Δ ABC = √(4a · 2a · a · a) = 2 √(2) a². Значит, S_Δ BQP = (a² √(2))/(3).
Ответ: (a² √(2))/(3).
Приведем решение пункта б) Данила Касьяненко.
По условию BO:OD = 3:1, тогда BQ = QD, поскольку DO = OQ. Проведем через точку Q прямую, параллельную прямой АС, пусть она пересечет сторону ВС в точке N. Тогда QN — средняя линия треугольника BDC, поэтому QN = DC/2 = a/2, а BN = CN. По свойству касательных NP = QN = a/2 и CP = DC = a, тогда BN = CN = 3a/2.
Из прямоугольного треугольника BQN найдем BQ:
BQ = √(BN² − QN²) = √(9а²/4 − a²/4) = √(2) а.
Проведем QT перпендикулярно CB. Из прямоугольного треугольника BQN найдем QT:
QT = (BQ · QN)/(BN) = (√(2) a · a/2)/(3a/2) = (√(2) a)/(3).
Найдем площадь треугольника BQP:
S_Δ BQP = 1/2 · BP · QT = 1/2 · 2a · (√(2) a)/(3) = (a² √(2))/(3).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 3 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не использовать параллельность отрезков при доказательстве.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №17 по профильной математике · Разбор темы №17 с нуля