Задание №17 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Вписанная в него окружность с центром O касается боковой стороны BC в точке P и пересекает биссектрису угла B в точке Q.
а) Докажите, что отрезки PQ и OC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника OBC, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO: OD = 3: 1 и AC = 2m.
Подсказки — как подойти к решению
- Докажи параллельность отрезков, опираясь на свойства биссектрисы и центра вписанной окружности.
- Площадь найди через стороны, выраженные через параметр m.
Решение
Пусть отрезок BD — высота данного треугольника. Тогда O BD в силу того, что ABC — равнобедренный треугольник. Введем следующие обозначения: BCO = DCO = α, COP = x, OPQ = y. Прямоугольные треугольники BOP и BCD подобны, следовательно, BOP = 2α. Из прямоугольного треугольника OPC находим x = π/2 − α, а из равнобедренного треугольника OPQ находим y = (π − 2 α)/(2) = π/2 − α. Углы COP и OPQ ― накрест лежащие при пересечении прямых PQ и OC секущей OP, значит, отрезки PQ и OC параллельны, что и требовалось доказать.
б) Отрезок CO ― биссектриса треугольника BCD. Следовательно,
DC/BC = OD/OB = 1/3,
откуда BC = 3DC = 3m.
CP = DC = m, значит, BP = 2m и, следовательно,
S_Δ BPO = 2S_Δ CPO = 2S_Δ CDO,
откуда S_Δ OBC = 3/4 S_Δ BCD = 3/8 S_Δ ABC. По формуле Герона находим:
S_Δ ABC = √(4m · 2m · m · m) = 2m² √(2),
откуда S_Δ OBC = (3m² √(2))/(4).
Ответ: (3m² √(2))/(4).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 3 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не учесть, что центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла при вершине.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №17 по профильной математике · Разбор темы №17 с нуля