Задание №17 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что ∠ BAC + ∠ AKC = 90°.
а) Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника OBKC, если cos ∠ BAC = 3/5, а BC = 48.
Подсказки — как подойти к решению
- Докажи, что четырёхугольник вписанный: сумма его противоположных углов равна 180°.
- Радиус описанной окружности найди по теореме синусов, переведя косинус угла в синус.
Решение
а) Пусть ∠ BAC = α, тогда ∠ OKC = ∠ AKC = 90 ^ − α и ∠ BOC = 2∠ BAC = 2 α. Треугольник BOC равнобедренный. Следовательно,
∠ OBC = ∠ OCB = (180 ° − 2 α)/(2) = 90 ° − α,
∠ OBC = ∠ OKC.
Точки B и K лежат по одну сторону от прямой OC и ∠ OBC = ∠ OKC, следовательно, точки O, B, K и C лежат на одной окружности. Следовательно, четырёхугольник OBKC вписанный.
б) По условию cos ∠ BAC = 3/5, поэтому sin ∠ BAC = 4/5.
Из теоремы sin получаем соотношение для радиуса окружности, описанной около треугольника ABC. Таким образом,
OC = (BC)/(2 sin ∠ BAC) = (48)/(2 · 4/5) = 30.
Пусть R — радиус окружности, описанной около четырёхугольника OBKC. В треугольнике OCK имеем:
R = (OC)/(2 sin ∠ OKC) = (OC)/(2 sin (90 ° − α)) = (OC)/(2 cos α) = (30)/(2 · 3/5) = 25.
Ответ: 25.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 3 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не перевести косинус в синус при вычислении радиуса по теореме синусов.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №17 по профильной математике · Разбор темы №17 с нуля