Задание №17 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E — на отрезке AB.
а) Докажите, что FH = 2DH.
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.
Подсказки — как подойти к решению
- Найди углы треугольника через биссектрису и докажи нужное соотношение сторон через подобие.
- Стороны прямоугольника вырази через сторону треугольника и найди площадь.
Решение
а) Пусть P — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую AB, тогда DH = DP. В равнобедренном треугольнике EAD угол AED равен 30°. В прямоугольном треугольнике EPD находим DP = 1/2 DE, откуда получаем, что FH = 2DH.
б) Пусть AM — высота треугольника ABC — пересекает ED в точке N. Тогда
AM = AB · sin = 2, BC = 2AB · cos = 4 √(3).
Пусть DH = EF = x, тогда FH = ED = 2x. Треугольники ABC и AED подобны, следовательно,
AN/AM = ED/BC ⇔ (2 − x)/(2) = (2x)/(4 √(3)) ⇔ x = (2 √(3))/(1 + √(3)) ⇔ x = 3 − √(3).
Значит, площадь прямоугольника DEFH равна
DE · DH = 2x · x = 2 (3 − √(3))² = 24 − 12 √(3).
Ответ: 24 − 12 √(3).
Приведем решение пункта а) Сергея Федорова.
Треугольник ABC равнобедренный, следовательно,
∠ ABC = ∠ ACB = (180 ° − ∠ A)/(2) = 30 °.
Углы BDE и DBC равны как накрест лежащие, угол DBC равен углу DBE, поскольку BD является биссектрисой, следовательно, углы BDE и DBE равны, тогда треугольник DBE равнобедренный, DE = BE. В треугольнике BFE катет EF лежит против угла в 30°, следовательно, BE = 2EF, тогда DE = 2EF.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 3 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не использовать, что биссектриса делит угол пополам.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №17 по профильной математике · Разбор темы №17 с нуля