Задание №17 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD.
а) Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если LM = 3 √(3), KM = 6 √(3), ∠ KML = 60 °.
Подсказки — как подойти к решению
- Докажи, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, делятся пополам, — через векторы или средние линии.
- Площадь четырёхугольника вырази через его диагонали и угол между ними.
Решение
а) Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD соответственно. Тогда KL и MN — средние линии треугольников ABC и ADC. Значит, KL = 1/2 AC = MN и KL || AC || MN, поэтому KLMN — параллелограмм. Его диагонали KM и LN делят друг друга пополам, что и требовалось доказать.
б) В треугольнике KLM имеем:
KL² = KM² + ML² − 2KM · ML · cos 60 ° = 81.
Значит, KL = 9. Тогда KM² = KL² + LM², поэтому треугольник KLM прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине L. Четырёхугольник KLMN — прямоугольник, поэтому
S_KLMN = KL · LM = 9 · 3 √(3) = 27 √(3).
Отрезок KL является средней линией треугольника ABC, поэтому S_KBL = 1/4 S_ABC. Аналогично S_MDN = 1/4 S_ADC. Тогда имеем:
S_KBL + S_MDN = 1/4 S_ABC + 1/4 S_ADC = 1/4 (S_ABC + S_ADC) = 1/4 S,
где S — искомая площадь четырёхугольника ABCD. Аналогично S_CML + S_AKN = 1/4 S. Поэтому
S_KLMN = S − 1/4 S − 1/4 S = 1/2 S.
Следовательно,
S = 2S_KLMN = 2 · 27 √(3) = 54 √(3).
Ответ: 54 √(3).
Приведем решение пункта б) wladius w.
В треугольнике KLM имеем: KL² = KM² + ML² − 2KM · ML · cos 60 ° = 81.
Значит, KL = 9. Тогда KM² = KL² + LM², поэтому треугольник KLM прямоугольный, то есть KL LM. KL || AC, LM || BD, тогда AC BD. Следовательно,
S_ABCD = 1/2 AC · BD = 1/2 · 2KL · 2LM = 1/2 · 18 · 6 √(3) = 54 √(3).
Примечание.
Заметим, что четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом, площадь которого равна половине площади исходного четырехугольника (см. параллелограмм Вариньона). При решении данной задачи фактически доказана теорема Вариньона и следствие из нее.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 3 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не связать площадь четырёхугольника с фигурой из средних линий.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №17 по профильной математике · Разбор темы №17 с нуля