Задание №17 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии

а) В четырёхугольнике AC1HB1 углы C1 и B1 — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр (вписанные прямые углы опираются на диаметр). Вписанные углы AC1B1 и AHB1 опираются на одну дугу, следовательно, AHB1 = AC1B1.

Углы BC1C и BB1C — прямые, значит, точки B, C, B1 и C1 лежат на окружности с диаметром BC. Следовательно,

∠ AC₁B₁ = 180 ° − ∠ BC₁B₁ = ∠ BCB₁.

Получаем, что ACB = AHB1.

б) В треугольнике AB1C1 диаметр описанной окружности AH = 4, откуда

B₁C₁ = AH · sin ∠ BAC = AH · sin 60 ° = 2 √ 3.

В прямоугольном треугольнике BB1A имеем:

AB₁ = AB cos ∠ BAB₁ = AB cos 60 ° = 1/2 AB.

В прямоугольном треугольнике CC1A имеем:

AC₁ = AC cos ∠ CAC₁ = AC · cos 60 ° = 1/2 AC.

Получаем, что AB/AB₁ = AC/AC₁. Треугольники ABC и AB1C1 имеют общий угол A и AB/AB₁ = AC/AC₁, следовательно, они подобны. Тогда BC/B₁C₁ = AC/AC₁ = 2. Значит,

BC = 2B₁C₁ = 4 √(3).

Ответ: 4 √(3).

Приведем решение пункта б) Тофига Алиева.

В четырёхугольнике AC1HB1 углы C1 и B1 — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Эта окружность описана также вокруг треугольника C1AB1, тогда по теореме sin (B₁C₁)/(sin ∠ A) = 2R = AH, откуда B₁C₁ = AH sin ∠ A = 4 · (√(3))/(2) = 2 √(3).

Как доказано в основном решении, треугольники C1AB1 и ABC подобны с коэффициентом подобия cos A, тогда

BC = (B₁C₁)/(cos ∠ A) = (2 √(3))/(1/2) = 4 √(3).

Приведем решение пункта б) Юлии Ерохиной.

6) В треугольнике AB1C1 диаметр описанной окружности AH = 4, откуда

B₁C₁ = AH · sin ∠ BAC = AH · sin 60 ° = 2 √ 3.

По доказанному в пункте а) четырехугольник B1C1BC вписан в окружность с диаметром BC. В эту же окружность вписан треугольник B1C1B, тогда по теореме sin

(B₁C1)/(sin ∠ C₁BB₁) = BC.

Найдем угол C1BB1 из прямоугольного треугольника ABB1:

∠ ABB₁ = 90 ° − ∠ BAB₁ = 90 ° − 60 ° = 30 °,

тогда:

BC = (B₁C₁)/(sin 30 °) = (2 √(3))/(1/2) = 4 √(3).

Примечание Дмитрия Гущина.

Укажем другое решение.

а) Поскольку AA1 — перпендикуляр к ВС, а BB1 — перпендикуляр к AС (см. рис.), углы AHB1 и ACB равны как острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами.

б) Сторона треугольника, величина противолежащего ей угла и отрезок высоты, проведённой из вершины этого угла в точку пересечения высот треугольника, связаны соотношением: BC = AH tg A, откуда BC = 4 tg 60 ° = 4 √ 3.

Примечание.

Полезно будет сравнить эту задачу с заданием 519475 из экзаменационного варианта ЕГЭ 2014 года, заданием 519475 из ЕГЭ − 2018, заданием 526342 из ЕГЭ − 2019, заданием 656585 из ЕГЭ − 2024.