Задание №17 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.
Подсказки — как подойти к решению
- Докажи подобие треугольников: общий угол и равенство других углов через прямоугольные треугольники.
- Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия, а площадь четырёхугольника — разность площадей.
Решение
а) Пусть угол BAC = α. Углы BAC и KHB равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим четырёхугольник BKHM: в нем BKH + BMH = 90° + 90° = 180°, следовательно, четырёхугольник BKHM вписан в окружность. Значит, углы KHB и KMB — вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Таким образом, BAC = KHB = KMB. Треугольники ABC и MBK имеют общий угол B, а BAC = KMB, значит, эти треугольники подобны по двум углам.
б) Сумма углов К и М четырехугольника BKHM равна 180°, поэтому он вписан в окружность. Прямоугольный треугольник BKH вписан в эту же окружность, а потому радиус R окружности равен половине гипотенузы BH: R = 1. Треугольник MBK также вписан в эту окружность. Коэффициент подобия треугольников ABC и MBK равен отношению их сходственных элементов, поэтому он равен 4:1 = 4. Тогда для отношения площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC получаем:
(S_MBK)/(S_AKMC) = (S_MBK)/(S_ABC − S_MBK) = (S_MBK)/(k² S_MBK − S_MBK) = 1/(k² − 1) = 1/(16 − 1) = 1/15.
Ответ: 1/15.
Приведем другое решение пункта б).
Из прямоугольного треугольника BKH находим, что BH = (BK)/(sin ∠ KHB). Для треугольника ABC справедливо равенство 2R = (BC)/(sin ∠ BAC). Учитывая, что KHB = BAC, получаем: BC/BK = 2R/BH. Стороны BC и BK — сходственные в подобных треугольниках ABC и MBK, следовательно, их коэффициент подобия k = BC/BK = 2R/BH = 4. Найдём отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC:
(S_MBK)/(S_AKMC) = (S_MBK)/(S_ABC − S_MBK) = (S_MBK)/(k² S_MBK − S_MBK) = 1/(k² − 1) = 1/(16 − 1) = 1/15.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 3 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: брать отношение площадей равным отношению сторон, а не его квадрату.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №17 по профильной математике · Разбор темы №17 с нуля