Задание №17 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 4, BC = 7 и AC = 8.
Подсказки — как подойти к решению
- Медианы делят треугольник на равновеликие части — используй это для сравнения площадей.
- Сумму квадратов сторон шестиугольника вырази через стороны и медианы исходного треугольника.
Решение
а) Пусть S_ABC = S. Из рисунка видно, что площадь шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ равна сумме площадей S_A₁B₁C₁ + S_B₁C₁A₂ + S_A₁C₁B₂ + S_A₁B₁C₂. Поскольку треугольник A1B1C1 подобен треугольнику ABC c коэффициентом подобия k = 1/2 его площадь S_A₁B₁C₁ = S/4. Пусть K — точка пересечения медианы AA1 и средней линии B1C1. Медиана и средняя линия делят друг друга пополам, поскольку они являются диагоналями параллелограмма AB1A1C1. Откуда AK = 1/2 AA₁, AK — медиана треугольника AB1C1. Заметим, что
AA₂:AK = 1/2 AM: 1/2 AA₁ = AM:AA₁ = 2:3,
то есть точка A2 делит медиану AK треугольника AB1C1 в отношении 2: 1. Значит, это точка пересечения медиан треугольника AB1C1. Площадь треугольника B1C1A2 равна трети площади треугольника AB1C1, то есть равна 1/3 · 1/4 S = S/12. Аналогично площади треугольников A1C1B2 и A1B1C2 равны S/12. Откуда площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 равна S/4 + 3 · S/12 = S/2.
б) Пусть длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC равны a, b, c. Докажем, что квадрат медианы AA1 равен 1/4 (2b² + 2c² − a²). Для доказательства на продолжении отрезка AA1 за точку A1 отложим отрезок A1P = AA1. Получим параллелограмм ACPB со сторонами AC = PB = b и AB = CP = c и диагоналями BC = a и AP = 2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон:
2b² + 2c² = a² + 4AA₁² ⇔ AA₁² = 1/4 (2b² + 2c² − a²).
Аналогично BB₁² = 1/4 (2a² + 2c² − b²), а CC₁² = 1/4 (2a² + 2b² − c²). Пусть L — середина отрезка AB1. Поскольку A2 — точка пересечения медиан треугольника AB1C1, она лежит на отрезке C1L и делит его в отношении 2: 1, считая от точки C1. Значит, C₁A₂ = 2/3 C₁L. Но треугольники AB1C1 и ABC подобны с коэффициентом 1/2, поэтому C₁L = 1/2 BB₁ и C₁A₂ = 1/3 BB₁. Повторяя те же рассуждения для треугольника A1B1C получаем, что отрезок A1C2 равен 1/3 BB₁. Применяя аналогичные рассуждения, получим что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника ABC: B₂C₁ = B₁C₂ = 1/3 AA₁, A₂B₁ = A₁B₂ = 1/3 CC₁. Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна:
2 (B₁C₂² + A₁C₂² + A₁B₂²) = 2/9 (AA₁² + BB₁² + CC₁²) =
= 2/9 · 1/4 · (2b² + 2c² − a² + 2a² + 2c² − b² + 2a² + 2b² − c²) =
= 1/18 · 3 (a² + b² + c²) = 1/6 (a² + b² + c²).
Подставляя числовые значения получаем, что сумма квадратов шести сторон треугольника равна 43/2.
Ответ: 21,5.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 3 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не учесть, что медианы делятся точкой пересечения в отношении два к одному.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №17 по профильной математике · Разбор темы №17 с нуля