Задание №17 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 10.
Подсказки — как подойти к решению
- Докажи прямоугольность через медиану к гипотенузе: она равна половине этой стороны.
- Сумму квадратов медиан найди по формуле, выражающей медианы через стороны треугольника.
Решение
Известно, что медианы делятся точкой пересечения в отношении 2: 1, считая от вершины. Значит,
BB₁ = 3/2 BM = 3/2 · 1/3 AC = 1/2 AC.
Поэтому треугольники AB1B и CB1B равнобедренные, причём B1AB = ABB1 и B1CB = CBB1. Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда ABC = ABB1 + CBB1 = 90°. Следовательно, треугольник ABC прямоугольный.
б) Треугольник A1BA прямоугольный. Поэтому
AA₁² = A₁B² + BA² = 1/4 CB² + BA².
Аналогично из прямоугольного треугольника C1BC находим:
CC₁² = C₁B² + BC² = 1/4 AB² + BC².
Тогда AA₁² + CC₁² = 5/4 AB² + 5/4 BC² = 5/4 (AB² + BC²) = 5/4 AC² = 125.
Ответ: 125.
Приведём другое решение пункта а).
Покажем, что медиана, проведенная к стороне AC, равна половине этой стороны. Тогда угол, противолежащий стороне AC, равен 90°, что и требуется доказать. Действительно, медианы делятся точкой пересечения в отношении 2: 1, считая от вершины. Значит, BB₁ = 3/2 BM = 3/2 · 1/3 AC = 1/2 AC.
Приведём еще одно решение пункта а).
Треугольник AB₁B — равнобедренный, AB₁ = B₁C = B₁B. Отрезок B₁C₁ — высота треугольника AB₁B, отрезок B₁C₁ — средняя линия треугольника ABC, тогда прямые B₁B и CB параллельны. Значит, прямые BC и AB перпендикулярны по теореме о перпендикулярности прямой, параллельной перпендикуляру.
Приведём еще одно решение пункта а).
Поскольку AB₁ = BB₁ = CB₁, точка B₁ — центр описанной окружности, а AC — ее диаметр. Тогда угол B прямой как опирающийся на диаметр.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 3 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не связать условие про медиану с признаком прямоугольного треугольника.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №17 по профильной математике · Разбор темы №17 с нуля