Задание №19 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
Подсказки — как подойти к решению
- Разложи 1512 на простые множители — это ключ ко всем трём пунктам задачи.
- Для геометрической прогрессии из трёх чисел средний член в квадрате равен произведению крайних: проверь, можно ли собрать такую тройку из делителей.
Решение
Случай а). Пусть числа b/q², b/q,b,bq,bq², где по условию b — натуральное число, q > 0,b 2,q ≠ 1 — искомые члены прогрессии. Их произведение равно b ^ 5 но уравнение b ^ 5 = 1512 не имеет натуральных решений. Итак, необходимой прогрессии из 5 чисел не существует.
Случай б). Пусть прогрессия состоит из четырех членов b/q,b,bq,bq², а пятое натуральное число равно k. Поскольку 1512 = 2³ · 3³ · 7 ^ 1, имеем: b ^ 4 q² k = 2³ · 3³ · 7 ^ 1, что невозможно для натуральных b ^ 4, q² и k поскольку разложение числа 1512 не содержит четвертых степеней простых сомножителей отличных от 1. Заметим, однако, что знаменатель прогрессии q может не быть натуральным числом и исследуем этот случай. Пусть q = m/n — несократимая дробь, m,n принадлежит N. Тогда bq² принадлежит N ⇒ b² ⇒ b ^ 4 ^ 8 ⇒ b ^ 4 q² k n ^ 6, что невозможно, поскольку разложение числа 1512 не содержит шестых степеней простых сомножителей отличных от 1.
Случай в). Пусть прогрессия состоит из трех членов b/q,b,bq, а четвертое и пятое натуральные числа равны k и l. Тогда b³ kl = 2³ · 3³ · 7 ^ 1. Положим в этом равенстве b = 6,k = 7,l = 1. Далее, полагая q = 2, получим один из требуемых наборов чисел: 3, 6, 12, 7, 1.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Верно выполнены: а), б), в) | 4 |
| Верно выполнены б) и один пункт из двух: а), в) | 3 |
| Верно выполнено б) или а) и в) | 2 |
| Верно выполнен один пункт из двух: а), в) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: забыть, что все пять чисел должны быть различными.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №19 по профильной математике · Разбор темы №19 с нуля