Задание №19 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний — 2076.
а) может ли в последовательности быть три члена?
б) может ли в последовательности быть четыре члена?
в) может ли в последовательности быть < 2076 членов?
Подсказки — как подойти к решению
- Каждая тройка подряд идущих членов — либо арифметическая, либо геометрическая прогрессия: перебирай типы по шагам.
- Для оценки наименьшего числа членов последовательности используй самый быстрый допустимый рост.
Решение
а) Нет, поскольку 1 + 2076 не делится на 2, а 2076 не является квадратом натурального числа.
б) Последовательность не может быть арифметической прогрессией, поскольку 2076 − 1 не делится на 3.
Последовательность не может быть геометрической прогрессией, поскольку 2076 не является кубом натурального числа.
Если первые три члена образуют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую, то эти числа: 1, q, q², 2q² − q, но уравнение 2q² − q − 2076 = 0 не имеет целых корней.
Если первые три члена образуют арифметическую прогрессию, а последние три — геометрическую, то эти числа: 1, a + 1 и 2a + 1 где a — натуральное число. Тогда последнее число должно равняться
((2a + 1)²)/(a + 1) = 4a + 1/(a + 1),
но это не натуральное число.
в) Да, например 1, 2, 4, 6, 8,.., 2076.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Верно решены все три пункта | 4 |
| Верно решены два пункта: а и б или б и в | 3 |
| Верно решены два пункта: а и в или один пункт б | 2 |
| Верно решен только один из пунктов: а или в | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: считать, что все тройки должны быть прогрессиями одного типа.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №19 по профильной математике · Разбор темы №19 с нуля