Задание №19 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
Подсказки — как подойти к решению
- Сумма модулей разностей шести пар групп выражается через суммы групп: запиши её через общую сумму чисел 1..12.
- Для наименьшего значения разбери, какие суммы групп вообще возможны при условии, что в каждой группе не менее двух чисел.
Решение
Обозначим суммы чисел в группах S₁, S₂, S₃, S₄ а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через A. Можно считать, что S₁ ≤ S₂ ≤ S₃ ≤ S₄.
а) Чтобы число A равнялось 0, необходимо, чтобы каждая из разностей S_i − S_j равнялась 0, то есть S₁ = S₂ = S₃ = S₄. Сумма всех двенадцати чисел 1 + 2 +... + 11 + 12 = (12 · 13)/(2) = 78. С другой стороны, она равна S₁ + S₂ + S₃ + S₄ = 4S₁, но 78 не делится на 4. Значит, A ≠ 0.
б) Чтобы число A равнялось 1, необходимо, чтобы все, кроме одной, разности S_i − S_j равнялись 0. Значит, S₁ < S₄, но в этом случае каждая из сумм S₂, S₃ не равна хотя бы одной из сумм S₁, S₄, поэтому хотя бы три разности S_i − S_j не равны 0 и число А не < 3. Значит, A ≠ 1.
в) Выразим число A явно через S₁, S₂, S₃, S₄:
A = (S₂ − S₁) + (S₃ − S₁) + (S₄ − S₁) + (S₃ − S₂) + (S₄ − S₂) + (S₄ − S₃) =
= 3 (S₄ − S₃) + 4 (S₃ − S₂) + 3 (S₂ − S₁). A =
= (S₂ − S₁) + (S₃ − S₁) + (S₄ − S₁) + (S₃ − S₂) + (S₄ − S₂) + (S₄ − S₃) =
= 3 (S₄ − S₃) + 4 (S₃ − S₂) + 3 (S₂ − S₁).
В предыдущих пунктах было показано, что A ≥ 3. Если A = 3, то S₁ = S₂ = S₃ = S₄ − 1 или S₄ = S₂ = S₃ = S₁ + 1. В этом случае сумма всех двенадцати чисел равна 4S₁ + 1 или 4S₄ − 1, то есть нечётна, что неверно.
Для следующего разбиения чисел на группы: 12;7; 11;6;2; 10;5;4;1; 9;8;3 — число A = 4.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один ш следующих результатов: ― обоснованное решение п. а; ― обоснованное решение п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: забыть, что в каждой группе должно быть не менее двух чисел.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №19 по профильной математике · Разбор темы №19 с нуля