Задание №19 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии

a) Рассмотрим разбиение числа 38 на 39 слагаемых, равных 38/39. При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 20 чисел, сумма которых равна

20 · 38/39 = 760/39 = 19 19/39 > 19.

Значит, S не может быть равным 38.

б) Поскольку S является суммой двух чисел, не больших 19, получаем S ≤ 38. Пусть 37,05 < S ≤ 38. Рассмотрим разбиение числа S на 39 слагаемых, равных

S/39 ≤ 38/39 < 1.

При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 20 чисел, сумма которых равна

20 · S/39 > 20 · 37,05/39 = 19.

Значит, S не может быть > 37,05.

в) Докажем, что число 37,05 удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим произвольное представление S = 37,05 в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих 1: S = x₁ + x₂ +... + x_n. Можно считать, что слагаемые упорядочены по невозрастанию: x₁ ≥ x₂ ≥... ≥ x_n − 1 ≥ x_n. Первую группу составим из k наибольших слагаемых так, чтобы

S₁ = x₁ + x₂ +... + x_k ≤ 19 < x₁ + x₂ +... + x_k + x_k + 1.

Вторую группу составим из оставшихся слагаемых.

Пусть S₁ < 18, 05 = 37,05 − 19, тогда

0,95 < 19 − S₁ < x_k + 1 ≤ x_k ≤... ≤ x₁

и

0,95k < x₁ +... + x_k = S₁ < 18,05.

Поэтому k < 19, то есть k ≤ 18 и

S₁ = x₁ + x₂ +... + x_k ≤ 18.

Тогда 1 ≤ 19 − S₁ < x_k + 1 ≤ 1. Полученное противоречие доказывает, что S₁ ≥ 18,05. Поэтому сумма слагаемых во второй группе

S₂ = x_k + 1 + x_k + 2 +... + x_n = 37,05 − S₁ ≤ 19.

Таким образом, число S = 37,05 удовлетворяет условию задачи. В предыдущем пункте было показано, что ни одно из чисел S > 37,05 не удовлетворяет условию задачи. Значит, максимально возможное значение S = 37,05.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 37,05.

Приведем решение пункта в) Татьяны Кравченко из Санкт-Петербурга.

Докажем, что число 37,05 удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим произвольное представление числа 37,05 в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих 1: x₁ + x₂ +... + x_n. Упорядочим слагаемые по неубыванию и будем добавлять в первую группу меньшие слагаемые, начиная с первого. При добавлении очередного слагаемого Х в первую группу сумма слагаемых в ней превысит 19. Это слагаемое из первой группы исключим и будем рассматривать отдельно, а все остальные слагаемые (большие или равные Х) поместим во вторую группу. Пусть S1 — сумма слагаемых в первой группе, S2 — сумма слагаемых во второй группе, причем S₁ ≤ 19, S₁ + X > 19, и S₁ + X + S₂ = 37,05.

Предположим, что S₁ < 18,05, тогда X > 0,95, поскольку S₁ + X > 19. Но тогда и любое слагаемое из второй группы > 0,95. Учитывая, что S₂ < 37,05 − 19 = 18,05, получим, что во второй группе должно быть не более 18 слагаемых. Каждое слагаемое < 1, поэтому S₂ < 18. При S1 < 18,05, S2 < 18 и S₁ + X + S₂ = 37,05 получим, что X > 1. Это противоречит условию. Следовательно, S1 не может быть < 18,05: в этом случае S2 + X не превосходит 19. Отнесем Х ко второй группе, и искомое разбиение будет достигнуто.

Таким образом, число 37,05 удовлетворяет условию задачи. В предыдущем пункте было показано, что ни одно из чисел? больших 37,05, не удовлетворяет условию задачи. Значит, максимально возможное значение S = 37,05.