Задание №19 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно − 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно − 8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Подсказки — как подойти к решению
- Обозначь количество положительных, отрицательных и нулевых чисел и запиши через них все три средних арифметических.
- Из того, что общее среднее целое и лежит между 40 и 48, найди точное количество чисел.
Решение
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 4k − 8l + 0 · m = − 3 (k + l + m).
а) Заметим, что в левой части приведенного выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому k + l + m — количество целых чисел — делится на 4. По условию 40 < k + l + m < 48, поэтому k + l + m = 44. Таким образом, написано 44 числа.
б) Приведем равенство 4k − 8l = − 3 (k + l + m) к виду 5l = 7k + 3m. Поскольку m ≥ 0, получаем, что 5l ≥ 7k, откуда l > k. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
воценка) Подставим k + l + m = 44 в правую часть равенства 4k − 8l = − 3 (k + l + m): 4k − 8l = − 132, откуда k = 2l − 33. Поскольку k + l ≤ 44, получаем: 3l − 33 ≤ 44, 3l ≤ 77, l ≤ 25, k = 2l − 33 ≤ 17; то есть положительных чисел не более 17.
впример) Приведем пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число − 8 и два раза написан 0. Тогда (4 · 17 − 8 · 25)/(44) = (68 − 200)/(44) = − 3, указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Верно выполнены: а), б), в пример), в оценка) | 4 |
| Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), в пример), в оценка) | 3 |
| Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), в пример), в оценка) | 2 |
| Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), в пример), в оценка) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не учитывать, что среднее арифметическое выражается через целые суммы и потому само целое.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №19 по профильной математике · Разбор темы №19 с нуля