Задание №19 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел < 900?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.
Подсказки — как подойти к решению
- Сумма арифметической прогрессии выражается через первый член и разность — запиши её для n членов.
- Для наибольшего n бери минимально возможные первый член и разность, помня, что все числа различны и натуральны.
Решение
а) Да, может. Числа 2, 3, 4, 5 составляют арифметическую прогрессию, их сумма равна 14.
б) Пусть a — первый член, d — разность, n — число членов прогрессии, тогда их сумма равна (2a + d (n − 1))/(2) n. Чтобы количество членов было наибольшим, первый член и разность должны быть наименьшими. Пусть они равны 1, тогда по условию (n (n + 1))/(2) < 900. Наибольшее натуральное решение этого неравенства n = 41. Такой результат получается при прогрессии 1 + 2 + 41 = 861.
в) Для суммы членов арифметической прогрессии имеем:
(2a + d (n − 1))/(2) n = 123 ⇔ (2a + d (n − 1)) n = 2 · 3 · 41.
Таким образом, число членов прогрессии n является делителем числа 246. Если n ≥ 41, то левая часть > 246: (2a + d (n − 1)) n ≥ 42 · 41 > 246, следовательно, n < 41. Поскольку n ≥ 3, получаем, что n = 3 или n = 6. Прогрессии из трёх и шести членов с суммой 123 существуют: например, 40, 41, 42 и 3, 10, 17, 24, 31, 38.
Приведем другое решение.
а) 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
б) (2a₁ + (n − 1) d) n ≤ 1800.43 · 42 = 1806, 42 · 41 = 1722. Поскольку 2a₁ + (n − 1) d ≤ 2 + (n − 1) = n + 1, число n не может быть равно 42 или быть больше. Число n = 41, a = 1, d = 1 удовлетворяет условию.
в) (2a₁ + (n − 1) d) n = 246, 3 ≤ n ≤ 15, (n ≥ 16 ⇒ 2a₁ + (n − 1) d ≥ 17) — не удовлетворяет. 16 · 15 = 240, 246 = 1 · 246 = 2 · 123 = 3 · 82 = 6 · 41.
3 ≤ n ≤ 15, поэтому имеем n = 3, 2a₁ + (n − 1) d = 82: 2a₁ + 2d = 82, a₁ + d = 41:41 − d,41, 41 + d — много есть таких прогрессий. Имеем n = 6,2a₁ + (n − 1) d = 41: 2a₁ + 2d = 82, a₁ + 5d = 41: d = 7, a₁ = 3: 3, 10, 17, 24, 31, 38 — есть такая прогрессия.
Ответ: а) да; б) 41; в) 3, 6.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Верно выполнены все 3 пункта: а), б) и в) | 4 |
| Выполнены все три пункта, однако в одном из пунктов ответ недостаточно обоснован или неверен вследствие арифметической ошибки | 3 |
| Верно выполнены пункты а) и б), либо верно выполнен пункт в) | 2 |
| Верно выполнен один из 2 пунктов: а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: допускать нулевую или отрицательную разность.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №19 по профильной математике · Разбор темы №19 с нуля