Задание №19 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
а) Чему равно число способов записать число 1292 в виде 1292 = a₃ · 10³ + a₂ · 10² + a₁ · 10 + a₀, где числа a_i — целые, 0 ≤ a_i ≤ 99, i = 0;1;2;3?
б) Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде N = a₃ · 10³ + a₂ · 10² + a₁ · 10 + a₀, где числа a_i — целые, 0 ≤ a_i ≤ 99, i = 0;1;2;3, ровно 130 способами?
в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде N = a₃ · 10³ + a₂ · 10² + a₁ · 10 + a₀, где числа a_i — целые, 0 ≤ a_i ≤ 99, i = 0;1;2;3, ровно 130 способами?
Подсказки — как подойти к решению
- Представление числа — это набор коэффициентов a₀, a₁, a₂, a₃ с ограничением 0 ≤ aᵢ ≤ 99, связанных линейным равенством.
- Число способов — это количество решений уравнения в целых числах с ограничениями; считай его перебором по одной-двум переменным.
Решение
Каждое число 0 ≤ a_i ≤ 99 однозначно представляется в виде a_i = 10b_i + c_i, где 0 ≤ b_i ≤ 9 и 0 ≤ c_i ≤ 9 (i = 0; 1; 2; 3). Значит, для каждого представления некоторого числа N в виде N = a₃ · 10³ + a₂ · 10² + a₁ · 10 + a₀ имеет место единственное представление N в виде N = 10n + m, где n = b₃ · 10³ + b₂ · 10² + b₁ · 10 + b₀ и m = c₃ · 10³ + c₂ · 10² + c₁ · 10 + c₀ — произвольные целые числа от 0 до 9999. Число способов записать число N в виде N = a₃ · 10³ + a₂ · 10² + a₁ · 10 + a₀ = числу способов записать число N в виде N = 10n + m.
а) Для представления числа 1292 в виде 1292 = 10n + m в качестве n можно взять любое целое число от 0 до 129. При этом m = 1292 − 10n определено однозначно. Таким образом, искомое число способов равно 130.
б) Повторяя рассуждения предыдущего пункта, несложно показать, что каждое из чисел от 1290 до 1299 представимо в требуемом виде ровно 130 способами.
в) Рассмотрим представление некоторого числа N в виде N = 10n + m, где n и m — некоторые целые числа от 0 до 9999. Представим m в виде m = 10k + l, где l — цифра единиц числа m, а k — некоторое целое число от 0 до 999. Тогда выполнено:
N = 10n + 10k + l ⇔ N − l = 10 (n + k) ⇔ (N − l)/(10) = n + k.
Найдём все числа K, представимые ровно 130 способами, в виде K = n + k, где n — некоторое целое число от 0 до 9999, а k — некоторое целое число от 0 до 999.
Пусть для некоторого числа K представления K = n₁ + k₁ и K = n₂ + k₂ таковы, что n₁ — наименьшее возможное n, а n₂ — наибольшее возможное n. Тогда n₁ = 0 или k₁ = K − n₁ = 999, иначе бы было представление K = (n₁ − 1) + (k₁ + 1). Аналогично n₂ = 9999 или k₂ = K − n₂ = 0.
Заметим, что для любого целого n₀ такого, что n₁ < n₀ < n₂, имеется представление K = n₀ + k₀, поскольку 0 ≤ n₁ < n₀ < n₂ ≤ 9999, 0 ≤ k₂ < k₀ < k₁ ≤ 999. Таким образом, количество представлений равно n₂ − n₁ + 1. Если n₁ = 0; n₂ = 9999 или k₁ = 999, k₂ = 0, то представлений больше. Значит, или n₁ = 0;n₂ = 129;k₂ = 0; K = 129; N = 1290 + l, или n₂ = 9999; n₁ = 9870; k₁ = 999; K = 10869; N = 108690 + l, где l — произвольная цифра. Таким образом, искомое количество чисел равно 20.
Ответ: а) 130; б) да; в) 20.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: ― обоснованное решение п. а; ― обоснованное решение п. б; ― обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. е; ― оба набора задуманных чисел в п. в. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: трактовать aᵢ как цифры, а не как числа от 0 до 99.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №19 по профильной математике · Разбор темы №19 с нуля