Задание №19 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Подсказки — как подойти к решению
- Запиши число как 100a + 10b + c, а частное обозначь через k — получится уравнение на цифры числа.
- Для наибольшего значения частного оцени сверху: числитель не превосходит 999, а знаменатель — сумму цифр.
Решение
Пусть данное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k, то выполнено 100a + 10b + c = ka + kb + kc.
а) Если частное равно 90, то 100a + 10b + c = 90a + 90b + 90c; 10a = 80b + 89c, что верно, например, при c = 0,b = 1, a = 8 — частное числа 810 и суммы его цифр равно 90.
б) Если частное равно 88, то 100a + 10b + c = 88a + 88b + 88c ⇔ 12a = 78b + 87c ⇔ 4a = 26b + 29c. Так как a < 10, то b = 0, c = 1 или b = 1, c = 0. В обоих этих случаях не существует натурального числа a, удовлетворяющего уравнению. Значит, частное трёхзначного числа и суммы его цифр не может быть равным 88.
в) Пусть k — наибольшее натуральное значение частного числа, не кратного 100, и суммы его цифр. Тогда
100a + 10b + c = ka + kb + kc ⇔ (100 − k) a = (k − 10) b + (k − 1) c.
Учитывая, что b + c > 0, получаем:
9 (100 − k) ≥ (100 − k) a = (k − 10) b + (k − 1) c ≥ (k − 10) (b + c) ≥ k − 10, 9 (100 − k) ≥ (100 − k) a = (k − 10) b +
+ (k − 1) c ≥ (k − 10) (b + c) ≥ k − 10,
откуда 9 (100 − k) ≥ k − 10 ⇔ 10k 910 ⇔ k 91.
Частное числа 910 и суммы его цифр равно 91. Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного 100, и суммы его цифр равно 91.
Ответ: а) да; б) нет; в) 91.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: ― обоснованное решение п. а; ― обоснованное решение п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не учитывать, что число не может начинаться с нуля и не кратно 100.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №19 по профильной математике · Разбор темы №19 с нуля