Задание №19 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Каждое из чисел a1, a2, …, a350 = 1, 2, 3 или 4. Обозначим
S₁ = a₁ + a₂ + a₃ + a₃₅₀,
S₂ = a₁² + a₂² + a₃² + a² ₃₅₀,
S₃ = a₁³ + a₂³ + a₃³ + a³ ₃₅₀,
S₄ = a₁ ^ 4 + a₂ ^ 4 + a₃ ^ 4 + a ^ 4 ₃₅₀.
Известно, что S1 = 513.
а) Найдите S4, если еще известно, что S2 = 1097 и S3 = 3243.
б) Может ли S4 = 4547?
в) Пусть S4 = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S2.
Подсказки — как подойти к решению
- Обозначь n₁, n₂, n₃, n₄ — количества единиц, двоек, троек и четвёрок среди 350 чисел.
- Суммы S₁, S₂, S₃, S₄ линейно выражаются через эти четыре величины, а их общая сумма равна 350 — этого достаточно для системы уравнений.
Решение
Пусть количества единиц, двоек, троек и четвёрок среди a1, a2,.., a350 равны m1, m2, m3, m4 соответственно. Тогда
m₁ + m₂ + m₃ + m₄ = 350 и m₁ + 2m₂ + 3m₃ + 4m₄ = 513.
а) По условию
S₁ = m₁ + 2m₂ + 3m₃ + 4m₄ = 513,
S₂ = m₁ + 4m₂ + 9m₃ + 16m₄ = 1097,
S₃ = m₁ + 8m₂ + 27m₃ + 64m₄ = 3243.
Зная, что m₁ + m₂ + m₃ + m₄ = 350, и решая систему линейных, находим: m1 = 282, m2 = 7, m3 = 27, m4 = 34. Значит,
S₄ = 282 + 16 · 7 + 81 · 27 + 256 · 34 = 11 285.
б) Если S₄ = m₁ + 16m₂ + 81m₃ + 256m₄ = 4547, где m₁ + m₂ + m₃ + m₄ = 350, то 15m₂ + 80m₃ + 255m₄ = 4197. В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая — нет, поэтому S4 не может быть равным 4547.
в) Если S₄ = m₁ + 16m₂ + 81m₃ + 256m₄ = 4745, где m₁ + m₂ + m₃ + m₄ = 350, то 15m₂ + 80m₃ + 255m₄ = 4395. Кроме того, поскольку m₁ + 2m₂ + 3m₃ + 4m₄ = 513. получаем:
m₂ + 2m₃ + 3m₄ = 163 ⇔ 15m₂ + 30m₃ + 45m₄ = 2445.
Вычтем из первого полученного равенства второе:
50m₃ + 210m₄ = 1950 ⇔ 5m₃ + 21m₄ = 195.
Значит, m4 делится на 5 и может равняться только 0 или 5. При m4 = 0 получаем:
m₃ = (195 − 21m₄)/(5) = 39,
m₂ = 163 − 2m₃ − 3m₄ = 85,
m₁ = 350 − m₂ − m₃ − m₄ = 226,
откуда
S₂ = m₁ + 4m₂ + 9m₃ + 16m₄ = 917.
При m4 = 5 получаем:
m₃ = (195 − 21m₄)/(5) = 18,
m₂ = 163 − 2m₃ − 3m₄ = 112,
m₁ = 350 − m₂ − m₃ − m₄ = 215,
откуда
S₂ = m₁ + 4m₂ + 9m₃ + 16m₄ = 905.
Ответ: а) 11 285; б) нет; в) 905 или 917.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Верно выполнены: а), б), в пример), в оценка) | 4 |
| Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), в пример), в оценка) | 3 |
| Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), в пример), в оценка) | 2 |
| Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), в пример), в оценка) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: пытаться найти сами числа вместо их количеств.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №19 по профильной математике · Разбор темы №19 с нуля