Задание №19 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n 3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел < 1000?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.
Подсказки — как подойти к решению
- Сумма n членов арифметической прогрессии равна произведению n на среднее членов — используй это в каждом пункте.
- Для пункта в) разложи удвоенную сумму на множители: один из них равен n, что резко сокращает перебор.
Решение
Без ограничения общности можно считать, что числа составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть a — первый член этой прогрессии, d её разность. Тогда сумма её членов S_n = (2a + (n − 1) d)/(2) n.
а) Да, может. Числа 1, 2, 3, 4 составляют арифметическую прогрессию, и их сумма равна 10.
б) Для суммы членов арифметической прогрессии верно неравенство
(2a + (n − 1) d)/(2) · n ≥ (2 + (n − 1))/(2) · n = (n (n + 1))/(2).
Значит, (n (n + 1))/(2) < 1000, откуда находим n ≤ 44. Сумма арифметической прогрессии 1, 2, …, 44 равна 990 < 1000. Значит, наибольшее значение n = 44.
в) Для суммы членов арифметической прогрессии имеем:
(2a + d (n − 1))/(2) · n = 129;~ (2a + d (n − 1)) n = 258 = 2 · 3 · 43.
Таким образом, число n является делителем числа 258. Если n ≥ 43, то (2a + d (n − 1)) n ≥ 44 · 43 > 258, следовательно, n < 43. Поскольку n ≥ 3, получаем, что n = 3 или n = 6. Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 129 существуют: например, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.
Ответ: а) да; б) 44; в) 3, 6.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: ― обоснованное решение п. а; ― обоснованное решение п. б; ― верно найдены оба значения n в п. в; ― доказано существование ровно двух значений n в п. в | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не учитывать, что все члены прогрессии натуральны и различны.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №19 по профильной математике · Разбор темы №19 с нуля