Задание №19 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
По кругу в некотором порядке по одному разу написаны натуральные числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.
а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?
б) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?
в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?
Подсказки — как подойти к решению
- Рассмотри числа, у которых есть общие делители: 9 и 18, 10 и 15, 12 и 16 — именно они мешают получить все НОД равными 1.
- Для наибольшего количества различных НОД оцени, сколько разных делителей вообще могут появиться у пар соседних чисел из этого набора.
Решение
а) Да, могло. Например, если числа записаны в порядке 9, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 18, 17, 10.
б) Всего по кругу записано 10 чисел. Для каждой пары соседних чисел мы ищем наибольший общий делитель, следовательно, получим 10 наибольших общих делителей. Если они все попарно различны, то хотя бы один из них не < 10. Но такого быть не может, поскольку для данных чисел наибольший из всевозможных наибольших общих делителей есть НОД(18, 9) = 9.
в) Числа 11, 13 и 17 являются простыми, наибольшие общие делители этих чисел со всеми остальными числами равняются 1. Каждое из чисел имеет двух соседей, следовательно, хотя бы два числа из этих трёх будут иметь по крайней мере одного соседа, отличного от этих трёх чисел. Таким образом, хотя бы четыре из всех наибольших общих делителей будут равняться 1, то есть совпадать. Следовательно, не может быть больше, чем семь попарно различных наибольших общих делителей, поскольку всего их десять, причём четыре совпадают. Для расстановки 9, 18, 12, 16, 14, 13, 11, 17, 10, 15 получается ровно 7 попарно различных наибольших общих делителей.
Ответ: а) да; б) нет; в) семь.
Приведем решение пункта б) Сергея Николаева.
Среди чисел от 9 до 18 есть простые числа 11, 13, 17. Для пары, содержащей простое число, наибольший общий делитель равен 1. Следовательно, хотя бы для двух пар наибольшие общие делители совпадают.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в. | 4 |
| Получены верные обоснованные ответы в двух пунктах из трёх. | 3 |
| Получен верный обоснованный ответ в пункте б или в пункте в. | 2 |
| Приведён пример в пункте а, пункты б и в не решены. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: забыть, что числа расположены по кругу, поэтому пар ровно десять, а не девять.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №19 по профильной математике · Разбор темы №19 с нуля